Bonsoir, quelqu'un peut-il m'aider sur u' exercice sur les limites de fonction s'il-vous-plaît ?

Réponse :

Exercice classique

Explications étape par étape

1)on met au mêmedénominateur f(x)=[(-x+5)(x+2)-6]/(x+2)

on développe et on réduit le numérateur pour arriver  à:

f(x)=(-x²+3x+4)/(x+2)

2)L'étude portant sur ]-2;+oo[  

On peut étudier les limites à partir de l'expression initiale

si x tend vers +oo  -x+1 tend vers-oo et -6/(x+2) tend vers 0-

f(x) tend vers -oo+0-=-oo

si x tend vers -2(avec x>-2) , -x+5=7 et -6/(x+2) tend vers -6/0+=-oo donc f(x) tend vers 7+(-oo)=-oo

3) Dérivée (on part de la forme donnée en 1)

f(x) est de la forme u/v donc f'(x)=(u'v-v'u)/v²

u=-x²+3x+4   u'=-2x+3

v=x-2     v'=1  ce qui donne f'(x)=[(-2x+3)(x+2)-1(-x²+3x+4)]/(x+2)²

après développement du numérateur on trouve la réponse donnée dans l'énoncé

f'(x)=(-x²-4x+2)/(x+2)²

4) le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -x²-4x+2 car (x+2)² est tjrs >0 sur le Df

On résout l'équation du second degré -x²-4x+2=0  et on en déduit le signe de f'(x)

delta=24  solution x1=(4-2rac6)/-2=-2+rac6

 et x2=(4+2rac6)-2 =-2-rac6  cette valeur n'est pas dans le Df

x  -2                          x1                                +oo

f'(x)..............+................0..................-...................

f(x)-oo......Croi.............f(x1)..........Décroi............-oo

calcule f(-2+rac6)=............à priori cette valeur est>0

4b) je ne vois pas l'utilité de calculer f(-3/2) et f(10) pour justifier que f(x)=0 admet deux solutions sur ]-2; +oo[

Sur l'intervalle ]-2; x1[, f(x) est continue et monotone elle passe d'une valeur <0  à une valeur >0 donc d'après le TVI il existe une et une seule valeur "alpha" telle que f(alpha)=0

sur l'intervalle ]x1; +oo[ f(x) est continue et monotone elle passe d'une valeur >0 à une valeur<0 donc d'après le TVI il existe une et une seule valeur "beta" telle que f(beta)=0

conclusion f(x)=0 admet deux solutions"alpha" et "beta" sur ]-2;+oo[  

5) par le calcul il faut déterminer ces deux valeurs "alpha" et "beta"

on part de f(x)=(-x²+3x+4)/(x+2)

un quotient est nul si son dividende est nul (avec diviseur non nul)

donc les solutions de f(x)=0 sont celles de -x²+3x+4=0

delta=25

alpha=(-3+5)/-2=-1  et beta=(-3-5)/-2=+4

6) Equation de la tangente au point d'abscisse x=0

tu appliques la formule vue en cours y=f(0)(x-0)+f(0)

y=2x+2

Bonus  cette question est liée avec la limite en +oo

f(x)-(-x+5)=-x+5-6(x+2)-(-x+5)=-6/(x+2)

Ceci traduit l'écart  qu'il y a entre la courbe et la droite d'équation y=-x+5

on note que quand  x tend vers +oo  cet écart  est toujours <0 et tend vers 0.

Conclusion: La droite d'équation y=-x+5 est une asymptote oblique et  la courbe représentant f(x) est en dessous de cette droite.