Bonsoir!! s'il vous plait j'ai besoin d'aide sur cet exercice. résoudre l'équation différentielle suivante : [tex](1 + x^{2} )y {}^{ .} + xy = \sqrt{1 + x {}

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

[tex](1+x^2)*y'+xy=\sqrt{1+x^2} \\\\1)\\(1+x^2)*y'=xy=0\\\\\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{x}{1+x^2}\\\\ln(y)=-\dfrac{ln(1+x^2)}{2} +C\\\\y=\dfrac{C}{\sqrt{1+x^2}} \\\\2)\\y'=\dfrac{C'\sqrt{1+x^2}-C\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } }{1+x^2} \\[/tex]

[tex](1+x^2)*\dfrac{C'\sqrt{1+x^2}-C\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } }{1+x^2} +x*\dfrac{c}{\sqrt{1+x^2 }}=\sqrt{1+x^2}  \\\\C'=1\\\\C=x+k\\\\3) \\\\\boxed{y=\dfrac{x+k}{\sqrt{1+x^2} } }\\[/tex]

1) Equation homogène

2) Méthode variation de la constante.