Bonjour j’ai un dm faire je suis bloqué à la question 2 pouvez-vous m’aider s’il vous plaît

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

AC=BD=√2

Tu le montres avec Pythagore dans le triangle rectangle ABC ou ADC.

2)

a)

On pose donc :

√2=a/b

On élève les 2 membres au carré qui sont tous deux positifs.

2=a²/b² qui donne : a²=2b²

qui prouve que a² est un multiple de 2 donc est pair.

b)

n²=4 donne n=2

n²=16 donne n=4

n²=25 donne n=5

Etc.

c)

Supposons que n² est pair mais que n est impair.

n impair peut s'écrire : n=2a+1 avec "a" entier car "2n" est pair donc "2a+1" est impair.

Ce qui donne :

n²=(2a+1)²=4a²+4a+1=4(a²+a)+1

4(a²+a) est pair donc "4(a²+a)+1 est impair.

Notre supposition de départ n'est pas vérifiée.

Donc n² pair implique que n est également pair.

d)

a²  pair démontré en 2)a) prouve que a est pair.

Puisque "a" est pair , on peut l'écrire ainsi : a=2p qui donne :

a²=(2p)²=4p²

Mais 2=a²/b² donne : 2b²=a² soit :

2b²=4p²

b²=2p² qui prouve que b² est pair.

Mais b² pair implique que b est pair.

3)

On a donc "a" et "b" qui sont pairs.

Alors la fraction a/b est simplifiable par 2 donc n'est pas irréductible comme posé au départ.

Donc √2 n'est pas un nb rationnel donc il est irrationnel.