Bonjour , j’ai un dm de maths sur les suites à faire mais je n’arrive pas à faire l’exercice , pouvez vous m’aider ? Merci

Réponse:

Bonjour

Partie A

1.

t1 = (4to+2)/(to+5)

t1 = (4×3+2)/(3+5)

t1 = 14/8

t1 = 7/4

2.

φ est dérivable comme fonction rationnelle sur [0;5]

φ'(x) = [4(x+5)-1(4x+2)]/(x-5)²

φ'(x) = 18/(x-5)²

φ'(x) > 0 sur [0;5] donc φ(x) est strictement croissante sur [0;5]

3. Soit P(n) la propriété 1 ≤ tn+1 ≤ tn ≤ 3

Initialisation

to = 3 et t1= 7/4

ainsi 1 ≤ t1 ≤ to ≤ 3

La propriété est vraie au rang 0

Hérédité :

Supposons P(n) vraie pour un entier naturel n ≥0

1 ≤ tn+1 ≤ tn ≤ 3

Par croissance de la fonction φ sur [0;5] l'ordre se conserve entre 2 nombres et leurs images.

Ainsi

φ(1) ≤ φ(tn+1) ≤ φ(tn) ≤ φ(3)

1 ≤ tn+2 ≤ tn+1 ≤ 7/4

donc

1 ≤ tn+2 ≤ tn+1 ≤ 3

P(n+1) est vraie.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est hereditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n.

1 ≤ tn+1 ≤ tn ≤ 3 pour tout entier naturel n.

4.

D'après la question précédente tn+1 ≤ tn donc la suite (tn) est décroissante.

D'après la question précédente, 1 ≤ tn .

Ainsi la suite (tn) est decroissante et minorée par 1.

D'apres la propriété de convergence des suites monotones, la suite (tn) converge.

Soit l la.limite de (tn)

lim(tn+1) = lim(tn) = l

n→+∞ n→+∞

φ(l) = l

(4l+2)/(l+5)=l

4l+2= l(l+5)

l²+5l-4l-2=0

l²+l-2 = 0

∆= 9

l1 = -2

l2 = 1

l1 n'appartient pas à [1;3]

donc

lim(tn) = 1

n→+∞

Partie B

1.

1-rn+1 = 1 - (4rn + 2)/(rn + 5)

= (rn + 5 - 4rn -2) / (rn + 5)

= (-3rn+3)/(rn + 5)

= [ 3/(rn + 5) ] × (1 - rn)

2.

Soit P(n) la propriété 0 ≤ 1 - rn ≤ (3/5)ⁿ

Initialisation

ro = 0,01

1 - ro = 0,99

(3/5)⁰ = 1

0 ≤ 1-ro ≤ (3/5)⁰

La propriété est vraie au rang 0

Heredité

Supposons la propriété vraie pour un entier naturel n ≥0

0 ≤ 1 - rn ≤ (3/5)ⁿ

rn > 0 donc 3/(rn+5) > 0

0×3/(rn+5) ≤ (1 - rn )×3/(rn+5) ≤ (3/5)ⁿ×3/(rn+5)

0 ≤ 1 - rn+1 ≤ (3/5)ⁿ×3/(rn+5)

de plus

rn+5 > 5

0 < 1/(rn+5)< 1/5

0 < 3/(rn+5) < 3/5

0 < (3/5)ⁿ×3/(rn+5) < (3/5)ⁿ×(3/5)

0 < (3/5)ⁿ×3/(rn+5) < (3/5)ⁿ⁺¹

donc

0 ≤ 1 - rn+1 ≤ (3/5)ⁿ⁺¹

P(n+1) est vraie

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire donc 0 ≤ 1 - rn+1 ≤ (3/5)ⁿ⁺¹ pour tout entier naturel n.

3.

lim(0) = 0

n→+∞

lim(3/5)ⁿ = 0 avec 0< q < 1

n→+∞

donc d'apres le théorème des gendarmes

lim(1 - rn) = 0

n→+∞

ainsi

lim(rn)=1

n→+∞

La suite (rn) converge et sa limite vaut 1.

4. L'algorithme cherche et affiche le rang N pour lequel (3/5)ⁿ se rapproche de 0 a 10-³ pres or

0 < 1 - rn < (3/5)ⁿ

0 < lim(1-rn) < lim(3/5)ⁿ

n→+∞ n→+∞

Quand (3/5)ⁿ tend vers 0, la suite (rn) tend vers 1