Bonjour quelqu’un peux m’aidez à faire l’exercice 66 svp je ne comprend rien . Merci :) d’avance :)))

Réponse :

Explications étape par étape

1) g(x) est la somme de deux fonctions:

(1/4)x fonction affine dérivable sur R et

2/(2x+3) fonction quotient qui n'est pas définie pour x=-3/2 donc pas dérivable pour cette valeur

g(x) est dérivable sur R-{-3/2}( on prend le domaine le plus restrictif)

Dérivée

La dérivée de (1/4)x est 1/4.

la dérivée de 2/(2x+3)  forme u/v  donc dérivée (u'v-v'u)/v²

soit [0*(2x+3)-2*2]/(2x+3)²=-4/(2x+3)²

g'(x)=1/4-4/(2x+3)²=[(2x+3)²-16]/4(2x+3)²=(4x²+12x+9-16)/4(2x+3)²

on simplifie par 4 donc  g'(x)=(x²+3x-7/4)/(2x+3)²

On note que le signe de cette dérivée g'(x) dépend uniquement du signe de x²+3x-7/4

il reste à étudier le signe de ce polynome du second degré

delta=9+7=16

x²+3x-7/4=0 pour x1=(-3-4)/2=-7/2  et x2=(-3+4)/2=1/2

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x   -oo             -7/2              -3/2                 1/2                  +oo

g'(x)........+............0.......-.......................-.............0........+...............

g(x)-oo....C.....g(-7/2).....D....-ooII+oo...D....g(1/2).....C...........+oo

Calcule g(-7/2) et g(1/2)

C=croissante; D=décroissante

II= valeur interdite et asymptote verticale x=-3/2

En ce qui concerne les limites pour compléter le tableau

si x tend vers  -oo,  g(x) tend vers -oo

si x tend vers  +oo, g(x) tend vers+oo

si x tend vers -3/2 (avec x<-3/2)   g(x) tend vers-oo

si x tend vers -3/2 (avec x>-3/2)   g(x) tend vers +oo