Soit A B C un triangle rectangle en A. Les points I,J et K sont les milieux de [BC] ; [AC] et [AB] respect. Montrer que. AI²+BJ²+CK²=3/2 BC²​. Merci d'avance

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

1)

AI

I milieu de l'hypothènuse deABC centre du cercle circonscrit

AI=IC=IB =1/2 BC

AI²=BC²/4

2)

triangle rectangle ABJ

BJ²=AB²+AJ²

J milieu de AC

AJ= AC/2

dans le triangle rectangle ABC

AC²=BC²-AB²

AJ²=AC²/4

AJ²=(BC²-AB²)/4

BJ²=AB²+[(BC²-AB²)/4]

BJ²=AB²+BC²/4-AB²/4

BJ²=BC²/4+AB²-AB²/4

BJ²=BC²/4+3/4 AB²

3)

triangle rectangle AKC

KC²=AK²+AC²

K milieu de AB

AK=AB/2

dans le triangle rectangle ABC

AB²=BC²-AC²

AK²= AB²/4

AK²=(BC²-AC²)/4

KC²=AC²+[(BC²-AC²)/4]

KC²=AC²+BC²/4-AC²/4

KC²=BC²+AC²-AC²/4

KC²=BC²/4+3/4 AC²

4)

AI²+BJ²+CK²

(BC²/4)+(BC²/4+3/4AB²)+(BC²/4+3/4AC²

BC²/4+BC²/4+BC²/4+3/4AB²+3/4AC²

3/4BC²+3/4(AB²+AC²)

triangle rectangle ABC

AB²+AC²=BC²

3/4BC²+3/4BC²

6/4 BC²

3/2BC²