Mathématiques

Question

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cette exo de math car je ne comprends pas comment faire l'exo s'il vous plaît.


Une boite cylindrique de rayon 12cm contient de l'eau jusqu'à une hauteur de 5cm. On immerge une boule métallique dans ce récipient et on constate que la surface de l'eau est tangeante a la boulet . On désigne par x le rayon de la boule en millimètre

1.a) Démontrer que 25 ≤ x ≤ 120.

b) Démontrer que x est solution de l'équation

x^3+21600x+540000=0 (E)

2.a) Démontrer que l'équation (E) admet deux solutions positives α et β telles que :

α ∈ [25,6 ;26] et β ∈ [125;135]

b) Déterminer alors une valeur approché du rayon de la boule à 0,1 mm près.
Bonjour j'ai besoin d'aide pour cette exo de math car je ne comprends pas comment faire l'exo s'il vous plaît. Une boite cylindrique de rayon 12cm contient de l

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2 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape

    a) le rayon du cylindre = 12cm donc 120 mm

    donc le rayon de la boule doit être inférieure ou égale à 120

    la hauteur de l'eau est de 5cm soit 50mm

    donc le rayon de la boule doit être supérieur à 25mm (25*2 =50mm)

    b )E)' = 3x² - 21 600

    ensuite je calcule delta : delta = b²-4ac = 0²-43-21 600 = 259 200 donc 2 racines.

    X1 = (-b- √ delta)/2a = (-0-√259200)/2*3 = -84,853

    X1 = (-b+ √ delta)/2a = (-0+√259200)/2*3 = 84,853

    ainsi on peut faire le tableau de variation et tout ça :

    X -∞ -84.853 84.853 +∞

    a continuer

  • Réponse :

    Pourquoi choisir comme unité le mm si ce n'est pour le plaisir de trainer des 00000

    Explications étape par étape

    1a) 2,5<x<12 (ceci en cm) c'est évident et logique

    1b) le volume de la boule est égal au volume (boule +eau) - le volume d'eau

    (4/3)pi*x³=pi*12²*2x-pi*12²*5

    on simplifie par pi

    (4/3)x³=288x-720

    on simplifie par 4

    (1/3)x³=72x-180

    ce qui nous donne E(x)=(1/3)x³-72x+180=0 à résoudre.

    c'est quand même plus simple que l'expression donnée dans l'énoncé.

    On a une fonction E(x) du 3éme degré on va donc rechercher les points d'intersection de E(x) avec l'axe des abscisses.

    Dérivée E'(x)=x²-72  cette dérivée s'annule pour

    x1=-rac72=-6rac2 et pour  x2=+6rac2

    Avec ceci on établit le tableau de signes de E'(x) et de variations de E(x) sur [0;12]

    x  ....0.............................+6rac2..........................+12

    E'(x)...........- .........................0................+..................

    E(x)E(0) .......décroi..........E(6rac2)......croissante E(12)    

    E(0)=180;  E(6rac2)=-227 (environ)et E(12)=-108

    Sur l'intervalle [0; 6rac2) il existe une et une valeur alpha telle que E(alpha)=0 ceci d'après le TVI

    L'autre valeur beta est supérieure à 12 donc  impossible physiquement (la boule n'entre pas dans le cylindre)

    et alpha est compris entre 2,56cm   et 2,6cm  

    Et tout ceci sans utilisation de calculette excepté E(2,56) >0 et E(2,6) <0

    Détermine avec plus de précision la valeur de alpha.

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