Bonsoir , j'ai besoin d'aide pour une simple question : Soit f(x) = √x définie sur [0;+infini] . Déterminez les fonctions dérivées et péciser Df' (niveau premiè

Réponse :

f(x) = √x  définie sur [0 ; + ∞[

déterminer la fonction dérivée f ' et préciser Df '

f '(x) = 1/(2√x)   et Df ' = ]0 ; + ∞[

Explications étape par étape

1)La fonction est-elle dérivable en a ?   a ⋲ [0 ; +inf [

on calcule le taux d'accroissement [f(a + h) - f(a)] / h

[f(a + h) - f(a)] / h = (√(a+h) - √a)/h

si l'on fait tendre h vers 0 on trouve une forme indéterminée 0/0

pour lever l'indétermination on multiplie les deux termes par le nombre conjugué du numérateur

(√(a+h) - √a)/h =  (√(a+h) - √a) (√(a+h) + √a)/h(√(a+h) + √a)

                         = (√(a+h))² - (√a)² / h(√(a+h) + √a)

                          = a + h - a / h(√(a+h) + √a)

                           = h / h(√(a+h) + √a)  (on simplifie par h)

                          = 1 / (√(a+h) + √a)

quand h tend vers 0 le dénominateur tend vers √a + √a = 2√a

un dénominateur ne peut être nul on est amené à poser a ≠ 0

et on conclut que

la fonction f(x) = √x qui est définie sur [0 ; +inf [

est dérivable sur ] 0 ; + inf [    (on enlève le 0)

sa dérivée est f'(x) = 1/2√x   avec x ⋲ ] 0 ; +inf [