bonjour, pourrai je avoir de l'aide pour cet exercice svp​

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

J'espère que ce lond DM n'était pas pour ce matin !!

1)

En + et - infini : lim 2/(x²+1)=0 car on divise 2 par un nb très grand.

Donc limite en - et +inf de f(x)= lim x

lim f(x)=lim x=-inf

x-->-inf

lim f(x)=lim x=+inf

x-->+inf

2)

La dérivée de x est 1.

La dérivée de 1/u est -u'/u².

Ici u=x²+1 donc u '=2x

Dérivée de 2/(x²+1) ==>-2*2x/(x²+1)²

Dérivée de -2/(x²+1) ==>4x/(x²+1)²

Donc  f  '(x)=1 +4x/(x²+1)²

f '(x)=[(x²+1)²+4x] / (x²+1)²

f '(x)=(x^4 + 2x²+4x+1) / (x²+1)²

Tu développes : (x+1)(x^3-x²+3x+1) --->tu sais faire .

Et tu vas retrouver : x^4 + 2x²+4x+1

donc f '(x)= (x+1)(x^3-x²+3x+1) /(x²+1)²

3)

u(x)=x^3-x²+3x+1

u '(x)=3x²-2x+3

qui est > 0 entre les racines s'il y en a sinon u '(x) > 0 car le coeff de x² est > 0.

Δ=4-4*3*3=-32 < 0

u(x) passe donc par un minimum pour x=-b/2a=2/6=1/3

Tableau de variation de u(x):

x------->-inf...........................................................+inf

u '(x)-->..................+...............................+.....................

u(x)--->...........................C......................................

C=flèche qui monte

4)

lim u(x)=lim x^3=-inf

x--->-inf

lim u(x)=lim x^3=+inf

u(x) est continue et strictement croissante , passant de valeurs négatives pour x tendant vers -inf à des valeurs positives pour x tendant vers +inf. Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel α tel que u(α)=0.

5)

u(-1)=-4 < 0

u(0)=1 > 0

Donc : -1 < α < 0

u(-0.3)=-0.017 < 0

u(-0.2)=0.352 > 0

Donc α ≈ -0.3 à 0.1 près.

6)

x------>-inf..............................α≈-0.3.................................+inf

u(x)---->....................-...............-0.017..........+......................

f '(x) est du signe de : (x+1)*u(x)

Tableau de variation de f(x) :

x----------->-inf......................-1.....................α..........................+inf

(x-1)------->.............-...............0...........+...................+.................

u(x)------->................-..........................-........0..........+..................

f '(x)------>..................+...........0...........-........0..........+........................

f (x)------>........................C......?.........D........?..........C...............

C=flèche qui monte

D=flèche qui descend.

f(-1)=-2

f(α) ≈ f(-0.3) ≈ -2.135

Voir courbe Cf jointe.