Bonjour, J'ai besoin de votre aide Soit n un entier naturel non nul. Quel est le reste de la division euclidienne de n^2 + 1 par n + 1? Justifier. Merci d'avanc

Quel est le reste de la division euclidienne de n² + 1 par n + 1 ?

 rappel :             la division euclidienne de a par b

                                       a = b x q + r      avec  r < b

ici on doit trouver q et r tels que :

n² + 1 = (n + 1 ) x q + r       avec r < n + 1

or  n² + 1  = n² - 1 + 2    on factorise n² - 1   d'où

      n² + 1 = (n + 1)(n - 1) + 2

          a   =    b   x   q    + 2

expression qui indique que le quotient de n² + 1 par n + 1 est  n - 1

le reste est 2

ceci à condition que  2 < n + 1    (reste inférieur au diviseur)

c'est à dire                    n > 1

énoncé : n est un entier naturel non nul

si n = 1  :  n² + 1 vaut 2  ;   n + 1 vaut 2

              le quotient de 2 par 2 est 1, le reste est 0

à partir de  n = 2   le reste 2 est inférieur à n + 1

réponse

le reste de la division de n² + 1 par n + 1 est égal à 0 si n = 1

      "                "          "                    "                          2 si n > 1