Bonsoir , j’ai du mal avec cet exercice, qqun pourrait m’aider svpp ? Merci d’avance

Réponse : Bonsoir,

1) Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, b_{n+1}=\frac{-1}{2+b_{n}}[/tex].

2) [tex]b_{n+1}-b_{n}=\frac{-1}{2+b_{n}}-b_{n}=\frac{-1-b_{n}(2+b_{n})}{2+b_{n}}=\frac{-1-2b_{n}-b_{n}^{2}}{2+b_{n}}\\b_{n+1}-b_{n}=\frac{-(b_{n}^{2}+2b_{n}+1)}{2+b_{n}}=\frac{-(1+b_{n})^{2}}{2+b_{n}}[/tex].

3) Le numérateur de [tex]b_{n+1}-b_{n}[/tex] est négatif, puisque le carré qui le suit est toujours positif.

Puis comme pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, b_{n} > -2[/tex], alors [tex]2+b_{n} > 0[/tex], donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, b_{n+1}-b_{n} < 0[/tex], donc [tex]b_{n+1} < b_{n}[/tex], la suite [tex](b_{n})[/tex] est donc décroissante.