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Question

Resoudre dans R puis dans ]-pi;pi] l'equation cos(2x)=1/2


On souhaite resoudre l'equation suivante dans R l'equation

4cos(x)2 -2(1+Racine3) cos(x)+racine3=0(1)


1. On effectue un changement de variable en posant X=COS(×) avec X€[-1 ; 1]

a) quelle equation du second degré est equivalente à l'équation (1) ?

b) montrer que le discriminant de cette équation est 4(1-racine3)2

c) déterminer les solutions de cette equation du second degré


2. En déduire les solutions de l'équation (1)dans ]-pi;pi[ puis dans R
Resoudre dans R puis dans ]-pi;pi] l'equation cos(2x)=1/2 On souhaite resoudre l'equation suivante dans R l'equation 4cos(x)2 -2(1+Racine3) cos(x)+racine3=0(1)

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1 Réponse

  • Réponse:

    cos(2x) = ½ <=> cos(2x) = cos(π/3)

    2x = π/3 + 2kπ ou 2x = -π/3 + 2kπ avec k entier relatif

    x = π/6 + kπ ou x = -π/6 + kπ

    Dans IR, S ={-π/6 + kπ ; π/6+kπ , k€ Z }

    Dans ]-π;π] ( autrement dit dans ]-6π/6; 6π/6] )

    S = { -5π/6; -π/6; π/6; 5π/6}

    1a On obtient :

    4X² - 2(1+√3)X + √3 = 0 (2)

    1b

    ∆ = [- 2(1+√3)]² - 4×4×√3

    ∆ = 4(1+√3)² - 16√3

    ∆ = 4(1+2√3+3)-16√3

    ∆ = 4+8√3+12-16√3

    ∆ = 4-8√3+12

    ∆ = 4(1-2√3+3)

    ∆ = 4(1-√3)²

    1c

    ∆ > 0

    √∆ = √[4(1-√3)²] = 2√(1-√3)² = 2×|1-√3| = 2(√3-1) car 1-√3 <0

    L'equation (2) admet 2 solutions :

    X1 =[ 2(1+√3)-2(√3-1)] / 8

    X1 = 4/8

    X1 = 1/2

    X2 = [ 2(1+√3)+ 2(√3-1)] / 8

    X2 = 4√3/8

    X2 = √3/2

    S = { 1/2 ; √3/2}

    2.

    Dans ]-π;π] :

    cos(x) = ½ <=>

    x = π/3 ou x= -π/3

    cos(x) = √3/2 <=>

    x = π/6 ou x = -π/6

    S ={-π/3; -π/6; π/6; π/3}

    Dans IR :

    S ={-π/3+2kπ; -π/6+2kπ; π/6+2kπ; π/3+2kπ, k€ Z }

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