bonjour merci de votre aide ​

Réponse :

soit  f(x) = 6ln x - 3 x + 4  est définie sur ]0 ; + ∞[

1) calculer la limite de la fonction f lorsque x tend vers 0. Interpréter graphiquement cette limite

lim f(x) = lim (6ln x - 3 x + 4) = - ∞

x→0        x→0

lim ln x = - ∞  et  lim - 3 x = 0

x→0                     x→0

l'interprétation graphique de cette limite, signifie que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe Cf

2) montrer que pour tout x de l'intervalle ]0 ; + ∞[ , f '(x) = 3/x)(2 - x)

f(x) = 6ln x - 3 x + 4 ⇒ f '(x) = 6/x - 3 = 3(2/x - 1) ⇔ 3/x(2 - x)

3) étudier le signe de f '(x) puis donner les sens de variation de f

     f '(x) = 3/x(2 - x)    or  x > 0  ⇒ 3/x  > 0

étudions le signe de 2 - x

x         0                        2                         + ∞

2 - x                +            0             -

Donc  f '(x) > 0  sur l'intervalle ]0 ; 2]

          f '(x) < 0  sur l'intervalle [2 ; + ∞[

x      0                           2                         + ∞

f(x)   - ∞ →→→→→→→→→→ 2.16 →→→→→→→→→ - ∞

              croissante               décroissante

4) en déduire que la fonction f admet un extremum dont on calculera la valeur exacte

puisque f '(x) s'annule pour x = 2, donc

f(2) = 6ln2 - 6 + 4 = 6ln2 - 2 = 2(3ln2 - 1)

5) déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 1

       l'équation de la tangente est : y = f(1) + f '(1)(x - 1)

f '(1) = 3/1(2 - 1) = 3

f (1) = 6ln1 - 3 + 4 = 0 - 3+4 = 1

Donc  y = 1 + 3(x - 1) = 1 + 3 x - 3 = 3 x - 2

L'équation de la tangente à Cf est : y = 3 x - 2

Explications étape par étape