Bonsoir ! Démontrer que [tex]\frac{1}{x+y}[/tex] < [tex]\frac{1}{x} +\frac{1}{y}[/tex]. Merci!

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

1)

1/x= 1*y/xy=y/xy

1/y=1*x=xy=x/xy

1/x+1/y=x+y/xy

2) comparons avec

1/x+y

pour comparer des fractions on les met au méme dénominateur

1/x+y=( 1*xy)/xy(x+y)=xy/(x+y)(xy)

(x+y)/xy=(x+y)*(x+y)/(x+y)(xy)= (x+y)²/(x+y)xy

même dénominateur

on compare les numérateurs

xy et (x+y)²

(x+y)²=x²+2xy+y²

xy< x²+2xy+y²

xy/(xy)(x+y)< (x+y)²/xy(x+y)

1/x+y< 1/x+1/y