Quelqu'un pourrais m'aider tout en m'expliquant si cela ne dérange pas merci beaucoup​

Réponse:

Pour montrer qu'une fonction est derivable, on determine la limite de son taux d'accroissement entre a et a+h

Si la limite est finie, alors f est dérivable et la valeur trouvée est egale à f'(a).

a.

f(1+h) = -3(1+h)+1 = -3h-2

f(1)= -3×1+1 = -2

le taux d'accroissement est

t(h) = [ f(1+h) - f(1) ] / h

t(h) = ( -3h-2 - (-2) )/h

t(h) = -3h/h

t(h) = -3

lim (-3) = -3

h→0

donc f est derivable en 1 et f'(1)=-3

b.

g(2+h) = 3(2+h)²-4

g(2+h) = 3(4+4h+h²)-4

g(2+h) = 3h²+12h+8

g(2)= 3×2²-4 = 8

t(h) = [ g(2+h) - g(2) ]/ h

t(h) = (3h²+12h+8-8)/h

t(h) = (3h²+12h)/h

t(h) = 3h+12

lim(3h+12) = 12

h→0

g est derivable en 2 et g'(2)=12.

c.

h(3+h) = (3+h)²+7(3+h)-3

h(3+h) = 9 + 6h + h² +21 +7h - 3

h(3+h) = h² + 13h +27

h(3) = 3²+7×3-3 = 27

t(h) = [ h(3+h) - h(3) ] / h

t(h)= (h²+13h+27-27)/h

t(h) = h+3

lim(h+13)= 13

h→0

h est derivable en 3 et h'(3) = 13

d.

k(2+h) = √(2+h-2) = √h

k(2)=0

t(h) = [ k(2+h) - k(2) ]/h

t(h) = √h / h

t(h) = √h/ (√h × √h)

t(h) = 1/√h

lim ( 1/√h ) = +∞

h→0

la limite du taux d'accroissement en 2 n'est pas finie donc k n'est pas dérivable en 2.