Bonsoir qui pourrait m’aider sur cet exercice? Merci d’avance à ce qui prendront de leurs temps pour moi c’est trop aimable :) C’est le numéro 25

on sait que

   e⁰ = 1    (1)          et             e^x * e^y = e^(x+y)   (2)

démontrer que pour tout naturel n  on a la propriété P(n) :   (e^a)^n = e^(na)

1) initialisation

si n = 0 alors    (e^a)^0 = e^(0*a) = 1  d'après (1)

P(0) est vraie

2) hérédité

on suppose P(n) vraie pour le rang n :    (e^a)^n = e^(na)

on démontre qu'elle est vraie

                                pour le rang n+1 :  (e^a)^(n+1) = e^[(n+1)a)]

si P(n) est vraie :  (e^a)^n = e^(na)  

 alors   [(e^a)^n]*(e^a) = [e^(na)]*(e^a)

alors   (e^a)^(n+1) = e^(na + a)

alors    (e^a)^(n+1) = e^(n + 1)a  est vraie

P(n+1) est vraie

conclusion

puisque P(0) est vraie et que si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie on en déduit que la propriété est vraie pour tout n

2)

e^2x * (e^-x)^3 = e^2x * e^(-3x) = e^(2x-3x) = e^-x

[(e^x)^2 ]*e = e^2x * e = e^(2x + 1)