Soit f1 la fonction définie sur R par : f1(x)= x^2-x-1; et f2 la fonction définie sur R par: f2(x)= -2x^2+5x-4 1) Démontrer que les paraboles P1 et P2, représen

Bonsoir,

1) Déterminons les coordonnées du point M commun à P1 et P2.

f1(x) = f2(x)
x² - x - 1 = -2x² + 5x - 4
x² + 2x² - x - 5x - 1 + 4 = 0 
3x² - 6x + 3 = 0
3(x² - 2x + 1) = 0
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1.

f1(1) = 1² - 1 - 1 
       = -1
f2(1) = -2*1 + 5*1 - 4
        = -2 + 5 - 4
        = -1

Le point commun aux deux paraboles est M(1 ; -1).

Calculons les coefficients directeurs des tangentes en ce point M.

f '(x) = 2x - 1 ===> f '(1) = 2*1 - 1
                                   = 1
g '(x) = -4x + 5 ===> g '(1) = -4*1 + 5
                                        = 1

Au point M, les deux tangentes ont le même coefficient directeur égal à 1.
Ces deux tangentes sont donc confondues.

Par conséquent P1 et P2 admettent une tangente commune en leur unique point commun M.

2) Une équation de la tangente au point d'abscisse a est de la forme :
y = f '(a)(x - a) + f(a)

Pour cet exercice, le point de tangence est M(1 ; -1)

D'où :
a = 1
f(a) = -1
f '(a) = f '(1) = 1

Equation de la tangente : y = 1(x - 1) + (-1)
y = x - 1 - 1
y = x -2