Bonjour, je ne comprend comment faire pour comparer la fonctions carré et cube sur R+ par disjonction des cas, merci de l’aide au revoir

Réponse : Bonjour,

Pour comparer les fonctions carré et cube sur [tex]\mathbb{R}+[/tex], on introduit la fonction [tex]f(x)=x^{3}-x^{2}[/tex].

On a:

[tex]f(x)=x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1)[/tex].

On effectue le tableau de signes de f:

x                     0                           1                                +∞

x²                    Ф             +                              +

x-1                                    -           Ф                +

f(x)                   Ф             -           Ф                +

Donc sur l'intervalle [0;1], [tex]f(x) \leq 0[/tex], donc sur cet intervalle:

[tex]x^{3}-x^{2} \leq 0\\x^{3} \leq x^{2}[/tex].

Donc sur l'intervalle [0;1], la courbe représentative de la fonction cube est en dessous de celle de la fonction carrée.

Sur l'intervalle [1;+∞[, [tex]f(x) \geq 0[/tex], donc:

[tex]x^{3}-x^{2} \geq 0\\x^{3} \geq x^{2}[/tex].

Donc sur l'intervalle [1;+∞[, la courbe représentative de la fonction cube est au dessus de celle de la fonction carrée.