Les limites Bonjour, j'ai un exercice sur les limites (Voir image ci-joint), et j'aimerais avoir si possible des explications aux questions de celui-ci. J'ai dé

Réponse :

exercice classique sans difficulté particulière.

Explications étape par étape

f(x)=(x+3)/(-x+5) ;Df=R-{5}

Limites: En - ou+oo on tient compte du rapport des termes de plus haut degré soit la limite de x/(-x)

soit après simplification par x lim en- ou +oo= 1/-1=-1

La droite d'équation y=-1 est une asymptote horizontale

si x tend vers 5 (avec x<5),  f(x) tend vers 8/0+=+oo

si x tend vers 5 (avec x>5), f(x) tend vers 8/0-=-oo

La droite d'équation x=5 et une asymptote verticale.

2)Dérivée f(x) est une fonction quotient de la forme u/v sa dérivée est donc f'(x)=(u'v-v'u)/v² avec

u=x+3    u'=1 et v=-x+5    v'=-1

ce qui donne f'(x)=[1(-x+5)+1(x+3)] (-x+5)²=8/(-x+5)²

On note que cette dérivée f'(x) est toujours >0 donc f(x) est croissante sur son Df

Tableau

x.....-oo..............................+5................................+oo

f'(x)...................+...................................+....................

f(x)-1..........croi...........+oo II -oo..........croi.............-1

Tangente au point A d'abscisse x=7

On te demande de la calculer pour moi  il faut partir la formule

nombre dérivé en 7=limite quand h tend vers 0 de [f(7+h)-f(7)]/h

[(7+h+3)/(-7-h+5)-10/-2]/h=[(10+h)/(-2-h)+5]/h=(10+h-10-5h)/(-2-h)]/h

=[-4h/(-2-h)]/h  on simplifie par h et il reste

lim qd h tend vers 0 de -4/(-2-h)=+2

On peut vérifier en caculant f'(7)=8/(-7+5)²=8/4=2

l'équation de la tangente est donnée par la formule

y=f'(7)(x-7)+f(7) =2(x-7)-4 =2x-18

Vérifie quand même mes calculs .