Bonjour tous le monde j’arias besoin d’aide pour l’exercice 66 svp merci d’avance à ceux qui prendront de leur temps pour m’aidez :)

Réponse :

1) montrer que g est dérivable sur D

la fonction g est la somme de x/4 qui est dérivable sur  R et de 1/(2 x+3) qui est dérivable sur D  donc  la fonction g(x) est dérivable sur D

Montrer que g '(x) = (x² + 3 x - 7/4)/(2 x + 3)²

g(x) = x/4 + 2/(2 x + 3) ⇔ g(x) = [x(2 x + 3) + 4]/2(2 x + 3)

g '(x) = 1/4 - 4/(2 x + 3)²

        = (2 x + 3)²/4(2 x + 3)² - 16/4(2 x + 3)²

        = (4 x² + 12 x + 9 - 16)/4(2 x + 3)²

        = (4x² + 12 x - 7)/4(2 x + 3)²

        = 4(x²+ 3 x - 7/4)/4(2 x + 3)²

        = (x²+ 3 x - 7/4)/(2 x + 3)²

donc  g '(x) = (x² + 3 x - 7/4)/(2 x + 3)²  

2) étudier le signe de g '(x) sur D

   g '(x) = (x² + 3 x - 7/4)/(2 x + 3)² = 0  ⇔  x² + 3 x - 7/4 = 0

Δ = 9 + 7 = 16 ⇒ √16 = 4

x1 = - 3 + 4)/2 = 1/2

x2 = - 3 - 4)/2 = - 7/2

(2 x + 3)² > 0  donc le signe de g '(x) dépend du signe de  x² + 3 x - 7/4

x        - ∞                         - 7/2                - 3/2                   1/2               + ∞  

g '(x)                    +             0          -           ||           -           0          +

g '(x) ≥ 0  entre ]- ∞ ; - 7/2]U[1/2 ; + ∞[

g '(x) ≤ 0  entre [- 7/2 ; - 3/2[U]- 3/2 ; 1/2]

3) en déduire les variations de g sur D

g '(x) ≥ 0  entre ]- ∞ ; - 7/2]U[1/2 ; + ∞[ ⇒ g(x) est croissante sur D

g '(x) ≤ 0  entre [- 7/2 ; - 3/2[U]- 3/2 ; 1/2] ⇒ g(x) est décroissante sur D

Dresser un tableau de variation

x        - ∞                    - 7/2                     - 3/2                   1/2                     + ∞

g(x)    - ∞→→→→→→→→→→ - 11/8 →→→→→ - ∞  || + ∞→→→→→→→5/8→→→→→→→→→ + ∞

                croissante              décroissante      décroissante      croissante  

Explications étape par étape