Bonjour, Je n'arrive pas à faire cet exercice : comparer √1-x² et 1-x merci beaucoup

Réponse : Bonsoir,

Il faut d'abord déterminer les valeurs de x pour lesquels [tex]\sqrt{1-x^{2}}[/tex] est définie, c'est à dire si [tex]1-x^{2} \geq 0[/tex].

On a que [tex]1-x^{2}=(1-x)(1+x)[/tex].

x           -∞                         -1                          1                              +∞

1-x                         +                         +            Ф               -

1+x                         -            Ф          +                              +

(1-x)(1+x)               -             Ф          +            Ф              -

[tex]\sqrt{1-x^{2}}[/tex] est donc définie sur l'intervalle [-1;1].

De plus:

[tex](\sqrt{1-x^{2}})^{2}-(1-x)^{2}=1-x^{2}-(1-2x+x^{2})=1-x^{2}-1+2x-x^{2}\\=2x-2x^{2}=2x(1-x)[/tex]

Puis:

x                      -1                         0                         1          

2x                                 -             Ф             +

1-x                                 +                            +          Ф

2x(1-x)                           -             Ф            +           Ф

Donc [tex](\sqrt{1-x^{2}})^{2}-(1-x)^{2} \leq 0[/tex], sur l''intervalle [-1;0], donc sur ce même intervalle [tex](\sqrt{1-x^{2}})^{2} \leq (1-x)^{2}\\ \sqrt{1-x^{2}} \leq 1-x \quad \; car \; 1-x >0,\; \sqrt{1-x^{2}} \geq 0 \; sur \; [-1;0] \; et\\ \; la \; fonction \; carree \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[[/tex].

Et:

[tex]\displaystyle (\sqrt{1-x^{2}})^{2}-(1-x)^{2} \geq 0 \; sur \; [0;1]\\(\sqrt{1-x^{2}})^{2} \geq (1-x)^{2}\\\sqrt{1-x^{2}} \geq 1-x \; car \; 1-x \geq 0, \sqrt{1-x^{2}} \geq 0 \; sur \; [0;1] \; et \; \\la \; fonction \; carree \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[[/tex]

En résumé, [tex]\sqrt{1-x^{2}} \leq 1-x[/tex], sur l'intervalle [-1;0], et [tex]\sqrt{1-x^{2}} \geq 1-x[/tex], sur [0;1].