Bonjours, j’ai vraiment besoins d’aide pour mon dm de math, merci d’avance de m’aider.

Réponse:

1a. f est decroissante sur [0;+∞[ donc f' est negative sur [0;+∞[.

Γ représente f'.

1b. Par defaut C représente F

C et Cf se coupent en x=1

F(1) = f(1) = 1

2a

lim(1/x) = +∞

x→0+

lim(-lnx) = +∞

x→0+

par somme des limites,

limf(x)=+∞

x→0+

La droite d'équation x=0 est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

2b

lim(1/x) = 0

x→+∞

lim(-lnx) = -∞

x→+∞

par somme des limites,

limf(x)=-∞

x→+∞

2c.

sur ]0;+∞[

f'(x) = -1/x² - 1/x

f'(x) = -1/x² - x/x²

f'(x) = (-x-1)/x²

2d.

x²>0 sur ]0;+∞[

-x-1 <0 sur ]0;+∞[

donc f'(x) < 0 sur ]0;+∞[

Ainsi f est strictement decroissante sur

]0;+∞[

x |0 +∞

f'(x) || -

f(x) ||+∞

|| ↘

|| -∞

3a.

H'(x) = 1 -[ 1×ln(x) + (x-1)/x]

H'(x) = 1 - ln(x) -1 + 1/x

H'(x) = 1/x - ln(x)

H'(x) = f(x)

H(x) est une primitive de f(x) sur ]0;+∞[

3b

F(x) = H(x) + k, k réel

F(1)=1

1-(1-1)ln1 + k = 1

1+ k = 1

k = 0

F(x) = x - (x-1)ln(x) est la primitive de f(x) sur ]0;+∞[