Bonjour désolé de vous déranger je suis en terminale STL et je n'arrive pas à faire l'exercice 67 est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?

Réponse :

Explications étape par étape

Partie A

g(x)=1-lnx-x²sur ]0;+oo[

limites

si x tend vers 0+, g(x) tend vers +oo

si x tend vers +oo, g(x) tend vers -oo

Dérivée: g'(x)=-1/x-2x= -(2x²+1)/x , cette dédrvée est tjrs <0 donc la fonction g(x) est décroissante et monotone sur le Df . Compte tenu des valeurs limites et d'après le TVI g(x)=0  admet une et une seule solution qui est x=1 g(1)=0 (solution évidente).

De ceci on déduit que g(x) est >0 sur ]0;1[ et <0 sur ]1;+oo[  

Partie B

f(x)=lnx/x-x+2  sur ]0;+oo[

si x tend vers 0+, ln x/x tend vers -oo/0+ donc f(x) tend vers -oo

si x tend vers +oo, lnx/x tend vers 0 (th. des croissances comparées)  donc f(x) tend vers -oo

la droite d'équation, y=-x+2 est une asymptote oblique pour f(x) en +oo

le terme lnx/x étant >0 pour x>1 la courbe se trouve au dessus de la droite

Dérivée: f'(x)=[(1/x)*x-lnx]/x²-1=(x²-lnx+1)/x² on retrouve f'(x)=g(x)/x²

le signe de f'(x) est donc celui de g(x)

tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    0................................1.....................................+oo

f'(x) .............+...................0...............-...................

f(x)-oo.......croi...............f(1)............décroi...........-oo

f(1)=1

Le point où la tangente est // à l'axe des abscisses et celui ou la dérivée est nulle c'est le point A(1;f(1)) soit A(1;1) .

Equation de la tangente au point d'abscisse x=e

formule;y=f'(e)(x-e)+f(e)=[-e²-lne+1)/e²](x-e)+lne/e-e+2

j'ai trouvé:y=-x+2+1/e

Sur l'intervalle ]0; 1] f(x) est continue et monotone (croissante) comme f(1)>0 et que en 0+ f(x) est <0 , d'après le TVI il existe une et seule valeur alpha  appartenant à cet intervalle telle que f(alpha)=0

Détermine alpha par encadrement avec ta calculette.

vérifie quand même mes calculs.