Bonjour, pouvez-vous s'il vous plaît m'aider à résoudre cet exercice, merci. Soit la fonction: f₂(x) = x² lnx - x² a) Etudier la concavité, la convexité de f. b

Réponse:

bonjour

a.

f est definie er derivable sur ]0;+∞[

f'₂(x) = 2xln(x) + x²×1/x - 2x

f'₂(x) = 2xlnx - x

f''₂(x) = 2ln(x) +2x/x - 1

f''₂(x) = 2lnx+1

Etude du signe de f''₂(x)

2lnx + 1 ≥ 0 <=> ln x ≥ -1/2 <=> x ≥ e-½

Sur ]0; e-½], f''₂(x) est negative donc f₂(x) est concave.

Sur [e-½; +∞[ , f''₂(x) est positive donc f₂(x) est convexe.

b.

La derivée seconde s'annule en changeant de signe en x= e-½.

f(e-½) = (e-½)²ln(e-½) - (e-½)² = -½e-¹ - e-¹ = -3/2 × e-¹

f'(e-½) = 2×e-½×ln(e-½) - e-½ = -e-½-e-½ = -2e-½

y = f'₂(e-½)( x - e-½) + f(e-½)

y = -2e-½(x - e-½) - 3/2 e-¹

y = -2e-½x + 2e-¹ - 3/2 e-¹

y = -2e-½x + ½e-¹

T : y = -2e-½x + ½e-¹

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

Pour illustrer la réponse de Svant,