bonjour j'ai un dm a faire jai tt fais sauf sa je ne arrive pas surtout la question 2 voilà donc jai besoin d'aide je serai même heureux d'avoir des pistes merc

Réponse : Bonjour,

2)a) [tex]u_{n+1}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2-(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}[/tex].

b) [tex]\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}=\frac{\frac{n+2-n-1}{(n+1)(n+2)}}{\frac{n+1-n}{n(n+1)}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)} \times \frac{n(n+1)}{1}=\frac{n}{n+2}[/tex].

c) Comme n est un entier naturel alors [tex]\frac{n}{n+2} < 1[/tex], donc:

[tex]\frac{u_{n+1}}{u_{n}} < 1\\\frac{u_{n+1}}{u_{n}}-1 < 0\\\frac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}} < 0[/tex].

Il faut étudier le signe de [tex]u_{n}[/tex] pour tout entier naturel [tex]n \geq 1[/tex]:

[tex]u_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)} > 0[/tex], pour [tex]n \geq 1[/tex].

Donc de [tex]\frac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}} < 0[/tex], comme [tex]u_{n} > 0[/tex], alors nécessairement [tex]u_{n+1}-u_{n} < 0[/tex], et donc [tex]u_{n+1} < u_{n}[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] est donc décroissante.