Bonsoir, J'aurai besoin de votre aide suite à mon exercice de maths à faire, je suis totalement bloqué et je n'arrive pas à le continuer à partir de la question

Réponse:

A l'issue de la question 2 on sait que (Vn) est géométrique de raison ⅓ et de 1er terme V1 = ⅓

3)

On en deduit la forme explicite de Vn est Vn = ⅓(⅓)ⁿ⁻¹

Vn = (⅓)ⁿ

Et d'apres la relation définissant Vn, on a n×Vn = Un

d'où Un = n(⅓)ⁿ pour n≥ 1

4)

Un+1 - Un = (n+1)(⅓)ⁿ⁺¹ - n(⅓)ⁿ

= (n+1)(⅓)ⁿ⁺¹ - n(⅓)ⁿ⁺¹⁻¹

= (⅓)ⁿ⁺¹ [ n+1 - n(⅓)⁻¹]

= (⅓)ⁿ⁺¹ [ n+1 - 3n]

= (⅓)ⁿ⁺¹(1-2n) pour n≥1

n≥1 <=> 2n ≥ 2 <=> -2n ≤ -2 <=> 1-2n ≤ -1 < 0

(⅓)ⁿ⁺¹ > 0

donc (⅓)ⁿ⁺¹(1-2n) < 0 pour n ≥ 1

Un+1 - Un < 0

La suite (Un) est décroissante.

5)

A la calculatrice on trouve :

a) n = 9

b) n = 16

c) (Un) semble tendre vers 0 quand n tend vers +∞