Bonsoir, J'aurai besoin de votre aide suite à mon exercice de maths à faire, je suis totalement bloqué et je n'arrive pas à le continuer à partir de la question

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

2)

[tex]u_1=\dfrac{1}{3} \\u_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n} *u_n\\\\v_n=\dfrac{u_n}{n} \\\\v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{n+1} =\dfrac{n+1}{3n(n+1)} *u_n=\dfrac{1}{3} *\dfrac{u_n}{n} =\dfrac{1}{3}*v_n\\v_1=\dfrac{u_1}{1} =\dfrac{1}{3}[/tex]

3)

[tex]v_n=v_1*(\dfrac{1}{3} )^{n-1}=(\dfrac{1}{3} )^n\\u_n=n*v_n=n*(\dfrac{1}{3} )^n\\[/tex]

4)

[tex]u_{n+1}-u_n=(n+1)*(\dfrac{1}{3} )^{n+1}-n*(\dfrac{1}{3} )^n\\\\=(\dfrac{1}{3} )^n*(\dfrac{n+1}{3}-n)\\ =(\dfrac{1}{3} )^n*(\dfrac{n+1-3n}{3})\\=(\dfrac{1}{3} )^{n+1}*(1-2n)\\[/tex]

5)

a: n=10

b: n=17

Voir fichier xls

c)

tend vers 0

En effet en utilisant la règle de l'Hospital

[tex]\lim_{n \to \infty} u_n\\=\lim_{n \to \infty} n*(\dfrac{1}{3})^n \\=\lim_{n \to \infty} \ \dfrac{n}{3^n} \\\\=\lim_{n \to \infty} \ \dfrac{1}{3^n*ln(3)} \\=0\\[/tex]