Quel qu’un pourrais m’aider s’il vous plaît merci beaucoup

Réponse:

1. z' = z si le point est invariant

z - 1 = ½(1-i√3 )z + (2-i√3 )

z - ½(1-i√3 )z = 2 - i√3 +1

z[1-½ + i√3/2]= 3-i√3

z =( 3-i√3)/ (½+½i√3)

z = -2√3i

I est le point d'affixe zI = -2i√3

2.

Calculons z' - zI = ½(1-i√3)z + ( 2 - i√3 ) +1 - (-2i√3)

z' - zI = ½(1-i√3)z + (3 + i√3)

z' - zI = ½(1-i√3) [ z - (3+i√3)/(½(1-i√3)) ]

z' - zI = ½(1-i√3) [ z - (-2i√3) ]

z' - zI = ½(1-i√3) [ z - zI ]

si la forme exponentielle a ete étudiée on a :

z'-zI = e(-iπ/3) × ( z - zI )

arg (½(1-i√3)) = arg( 1/2 - i√3/2) = -π/3[2π]

|1/2 - i√3/2| = 1

f est donc la rotation de centre I et d'angle -π/3

3a)

z'A = ½(1-i√3)zO + ( 2 - i√3 ) +1

z'A = 3 - i√3

(IA ; IO ) = π/3 d'apres 2)

|zI - z'A| = |-2i√3 - 3 + i√3 | = |-3 - i√3 | = 2√3

|zI - zO | = | zI | = |-2i√3| = 2√3

Le triangle IOA est isocele en I et OÎA = 60° donc IOA est équilatéral.

3b)

zB = zO + z⃗AO

zB = 0 - 3 + i√3

zB = -3 + i√3

3c)

(zB-zI)/(zA-zI) = (-3+i√3+2i√3)/(3-i√3+2i√3)

(zB-zI)/(zA-zI) = (-3+3i√3)/(3+i√3)

(zB-zI)/(zA-zI) = i√3

|(zB-zI)/(zA-zI)| = 3

arg[(zB-zI)/(zA-zI)] = π/2 [2π]

arg[(zB-zI)/(zA-zI)] = arg(zB -zI) - arg(zA-zI)

= ( u; IB) - (u; IA)

= (IA; IB)

(IA; IB) = π/2 [2π]

le triangle IAB est rectangle en I